第15章：EM算法

期望最大化（EM）算法是一种迭代的统计算法，用于在概率模型中寻找参数的最大似然或最大后验估计，尤其是在存在隐变量时。本章将详细介绍EM算法的原理、步骤以及在不同场景下的应用。

15.1 EM算法的基本原理

15.1.1 算法概述

EM算法通过迭代两个步骤——期望（E）步骤和最大化（M）步骤——来找到参数的最大似然估计。

15.1.2 E步骤

在E步骤中，算法计算给定观测数据和当前参数估计下，隐变量的期望值。

15.1.3 M步骤

在M步骤中，算法更新参数以最大化在E步骤中计算的期望似然。

15.2 EM算法的数学表述

15.2.1 似然函数

似然函数是给定参数时观测数据的概率。

15.2.2 对数似然函数

对数似然函数用于简化计算，并且对数值稳定性更友好。

15.2.3 迭代更新

参数的迭代更新公式，包括E步骤的期望值计算和M步骤的最大化过程。

15.3 EM算法的实现

15.3.1 初始化

参数的初始化对EM算法的收敛性和最终结果至关重要。

15.3.2 收敛条件

设定算法的收敛条件，如参数更新的变化量或迭代次数的上限。

15.3.3 算法稳定性

讨论如何确保EM算法的稳定性和收敛性。

15.4 EM算法的应用

15.4.1 高斯混合模型

EM算法是高斯混合模型参数估计的标准方法。

15.4.2 隐马尔可夫模型

在隐马尔可夫模型中，EM算法用于估计模型参数和状态转移概率。

15.4.3 聚类分析

在聚类分析中，EM算法可以用于估计数据点属于各个簇的概率。

15.5 EM算法的优缺点

15.5.1 优点

• 灵活性：适用于多种含有隐变量的概率模型。
• 鲁棒性：在参数初始化不理想时仍能工作。

15.5.2 缺点

• 收敛速度：可能需要多次迭代才能收敛。
• 局部最优：可能会收敛到局部最优解而非全局最优解。

15.6 本章小结

EM算法是一种强大的迭代方法，用于估计含有隐变量的概率模型参数。通过交替执行E步骤和M步骤，算法能够找到参数的最大似然估计。理解EM算法的原理和实现对于处理复杂的统计问题至关重要。